问题:
有一只青蛙,向右跳x步可以到达右边中点,向左边跳n-x步可以到达左边中点,问到达左边中点的概率。
求解方法
我们定义f(x)为到达左边中点的概率。
那么f(0) = 0,因为我们已经到达右边终点,f(n) = 1,因为我们已经到达左边终点。
我们知道,f(x) 接下来有两种走法,f(x-1)和f(x+1),所以有
f(x) = 0.5 * f(x-1) + 0.5 * f(x+1)
我们由此可得f(x+1) - f(x) = f(x) - f(x-1)。
所以我们知道f(x)构成的序列是一个等差数列。
因为f(0) = 0, f(n) = 1,所以f(1) = 1/n,f(2) = 2/n, f(x) = x/n,f(n-1) = (n-1)/n,f(n) = n/n
所以,综上可得f(x) = x/n。
也就是说,当向右走x步到达右边终点,向左n-x步到达左边终点时,我们最后到达左边终点的概率为x/n