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青蛙跳荷叶问题

问题:

有一只青蛙,向右跳x步可以到达右边中点,向左边跳n-x步可以到达左边中点,问到达左边中点的概率。

求解方法

我们定义f(x)为到达左边中点的概率。

那么f(0) = 0,因为我们已经到达右边终点,f(n) = 1,因为我们已经到达左边终点。

我们知道,f(x) 接下来有两种走法,f(x-1)和f(x+1),所以有

f(x) = 0.5 * f(x-1) + 0.5 * f(x+1)

我们由此可得f(x+1) - f(x) = f(x) - f(x-1)。

所以我们知道f(x)构成的序列是一个等差数列。

因为f(0) = 0, f(n) = 1,所以f(1) = 1/n,f(2) = 2/n, f(x) = x/n,f(n-1) = (n-1)/n,f(n) = n/n

所以,综上可得f(x) = x/n。

也就是说,当向右走x步到达右边终点,向左n-x步到达左边终点时,我们最后到达左边终点的概率为x/n